Ondas en un sólido elástico

Sea un sólido elástico cuyas constantes de Lamé son l, G. La ecuación que rige la evolución de sus deformaciones interiores es, según se ha visto en los fundamentos de elasticidad, y en ausencia de fuerzas aplicadas1,

ra = Ñ·T
ecuación que proporciona la densidad volumínica de fuerza según el eje x
fx = l(Xx+Yy+Zz)+2G Xx
x
+ G(Xy+Yx)
y
+ G(Xz+Zx)
z
Sean ahora
i ·Ñ((l+2G)Ñ·d) =
(l+2G)(Xx+Yy+Zz)
x
entonces
fx = i ·Ñ((l+2G)Ñ·d)+ G(Xy+Yx)
y
+ G(Xz+Zx)
z
- 2G(Yy+Zz)
x
Dado que
i ·Ñ×(GÑ×d) = G(Yx-Xy)
y
- G(Xz-Zx)
z
queda
fx = i ·Ñ((l+2G)Ñ·d)-i ·Ñ×(GÑ×d)+2 æ
ç
è
G Yx
y
+ G Zx
z
- G(Yy+Zz)
x
ö
÷
ø
fx = i ·Ñ((l+2G)Ñ·d)-i ·Ñ×(GÑ×d)+2 ( GyYx-GxYy + Gz Zx- Gx Zz)
es decir
f = Ñ((l+ 2G)Ñ·d)-Ñ×( G Ñ×d) +2 ( Ñ¢d - Ñ·d)ÑG
que deriva de una densidad de potencial
U = 1
2
(l+ 2G) (Ñ·d)2 + 1
2
G nor
\nolimits(Ñ×d)-2 G tr ((Ñd)a)
Si el medio es homogéneo entonces
f = Ñ((l+ 2G)Ñ·d)-Ñ×( G Ñ×d)
que deriva de una densidad de potencial
U = 1
2
(l+ 2G) (Ñ·d)2 + 1
2
G nor
\nolimits(Ñ×d)
con lo que la ecuación diferencial que determina la evolución del sistema es
Ñ((l+ 2G)Ñ·d)-Ñ×( G Ñ×d) -r 2d
t2

Se supondrá de ahora en adelante que el medio es homogéneo e isótropo.

La ecuación diferencial anterior define la existencia de dos tipos de ondas, las ondas transversales (ondas S) y las ondas longitudinales (ondas P), como se muestra a continuación.

Se define el vector de flujo energético

P = (l+2G) d
t
Ñ·d + G (Ñ×d)×(Ñ×d)
cuya divergencia es inmediato que resulta
U = d
dt
ì
í
î
1
2
(l+ 2G) (Ñ·d)2 + 1
2
G nor
\nolimits(Ñ×d) + 1
2
r nor
\nolimits( d
t
) ü
ý
þ
es decir
Ñ·P = U+T
t

Condiciones de unicidad de la onda

Sean las condiciones para d en un dominio t de forntera G

Estas restricciones se denominan condiciones tipo A y es inmediato que determinan unívocamente la solución d(x,y,z,t) en t para todo t.

En efecto, si hubiese dos soluciones d(x,y,z,t),d¢(x,y,z,t) en tonces su diferencia u(x,y,z,t) debería verificar la misma ecuación de ondas y las condiciones de contorno de tipo A:

con lo que, utilizando el teorema de Gauss-Ostrogradsky para el flujo de energía P, se tiene

U+T
t
= 0 Þ U+T = U0+T0 = 0 Þ U = 0 ÙT = 0 Þ u = cte = u0 = 0
es decir, d(x,y,z,t),d¢(x,y,z,t) son iguales.

Si se tienen unas condiciones de contorno (tipo B) tales que

entonces se pretende demostrar que "t Ñ·d = 0. En efecto, la ecuación diferencial que verifica Ñ·d es

(l+ 2G) D(Ñ·d) - r 2(Ñ·d)
t2
= 0
dado que Ñ·d y su derivada son nulas en t = 0 y en el contorno G, la unicidad de la solución de la ecuación de ondas escalar permite afirmar que "t Ñ·d = 0.

Del mismo modo, si se tienen unas condiciones de contorno (tipo C) tales que

entonces se pretende demostrar que "t Ñ×d = 0. En efecto, la ecuación diferencial que verifica Ñ·d es

G Ñ×[Ñ×(Ñ×d)] - r 2(Ñ×d)
t2
= 0
dado que Ñ×d y su derivada son nulas en t = 0 y en el contorno G son nulas permanentemente su divergencia y rotacional, la unicidad de la solución de la ecuación de ondas escalar permite afirmar que "t Ñ×d = 0.

Dado que, para unas condiciones de contorno de tipo A, siempre se pueden descomponer a,b en dos componentes : una adivergente y otra irrotacional , se definen dos problemas: uno con condiciones de contorno tipo B cuya solución es una función adivergente y otro con condiciones de tipo C, cuya solución es irrotacional. La primera se llama onda transversal u onda S; la segunda recibe el nombre de onda longitudinal u onda P. La descomposición aludida no es única, sino que está indeterminada en una función adivergente e irrotacional la cual permanece constante en el tiempo.


Notas

1 un sistema de fuerzas aplicadas constantes no altera el desarrollo posterior