Fórmula de difracción de Kirchhoff

El teorema de Green establece que, si f,y son dos campos variables definidos en un recinto
V de frontera S, se tiene
ó
õ


V 
(2 f- 2 y) dv = ó
õ


S 
(yÑf- fÑy)·ds
Se va a proceder a aplicarlo a las funciones u(A),G(P,A) tales que
Ñ2 u + k2 u = 0
G(P,A) = exp (ik|AP|)
4p|
AP|
que también verifica que si
A no es P, se tiene
ÑA2 G(P,A) + k2 G(P,A) = 0
Dado un punto interior
P Î V se puede seleccionar un esfera E(P,e) de radio e y centro P cuya frontera es la superficie esférica S(P,e), de modo que al aplicar la fórmula de Green sobre el recinto V-E(P,e), se tiene
ó
õ


S(P,e) 
(uÑG - G Ñu) ·ds + ó
õ


S 
(uÑG - G Ñu) ·ds = 0
cuando se hace tender e a la distancia nula, la primera integral tiende a
ó
õ
2p

0 
ó
õ
p

0 
u(A) (- uA exp (ik|AP|)
4p|
AP|2
·(-uA) e2 sen qdqdj = u(P)
con lo que se tiene
u(P) = ó
õ


S 
(G(P,A) Ñu(A) - u(A) ÑA G(P,A))·dS
(1)
La fórmula anterior se conoce como fórmula de difracción de Kirchhoff. Su denominación obedece a su amplia utilización cuando se resuelve la transmisión de una onda en cuyo camino se encuentra un plano opaco en el que se hallan un conjunto de aperturas. En este caso se suele suponer que el campo
u y su gradiente Ñu en las aperturas son los del campo incidente y nulos en la parte opaca del plano. Aunque la aproximación no es exacta, si las aperturas son mayores que unas cuantas longitudes de onda y se calcula el campo en puntos algo alejados de los bordes, proporciona unos resultados bastante exactos.

La función G(P,A) tiene una significación especial en la teoría de difracción de Fresnel-Kirchhoff. Para puntos A,P alejados, el término que varía y que pondera positiva y negativamente los valores del campo en la frontera es la exponencial imaginaria. Dado que el valor escalar u(P,t) = u(P) exp(iwt), la distribución de fases equivale a un retardo/adelanto en la propagación. Por ello se representa en el siguiente diagrama la distribución de la fase del peso en P con el que se pondera la contribución de u(A) en forma de retardo/adelanto. La complejidad analítica del tratamiento de una distribución esférica de estos pesos propicia la aparición de dos simplificaciones:

  1. difracción de Fraunhoffer: que consiste en sustituir las ondas esféricas por planas.
  2. difracción de Fresnel: que consiste en sustituir las ondas esféricas por parabólicas.