Ondas superficiales en líquidos incompresibles

La mayor parte de la superficie terrestre está cubierta por agua. Las diferencias térmicas, la atracción lunar, los fenómenos atmosféricos, tectónicos, volcánicos, etc provocan perturbaciones que se propagan por todo el fluido, constituyendo éste un medio eficaz en el transporte de energía. 

 

En esta sección nos vamos a centrar en la propagación de pequeñas perturbaciones en un fluido inicialmente en equilibrio, suponiendo que:

Sean x,y las coordenadas horizontal y vertical respectivamente de cada elemento de agua en equilibrio, y sean x+x(x,y,t),y+h(x,y,t) sus coordenadas una vez producida la perturbación. Un elemento de superficie Dx Dy, se transformará en un elemento de superficie
æ
ç
è
Dx¢
Dy¢
ö
÷
ø
= æ
ç
ç
ç
ç
ç
è
1+  x

x
 x

y
 h

x
1+  h

y
ö
÷
÷
÷
÷
÷
ø
æ
ç
è
Dx
Dy
ö
÷
ø
Si se supone que la deformación y la rotación del líquido son pequeñas, las derivadas parciales anteriores son mucho menores que uno y se puede escribir, a primer orden
Dx¢Dy¢ = (1+  x

x
+  h

y
) Dx Dy
En estas circunstancias, la icompresibilidad del agua se traduce en que


 x

x
+  h

y
=0
(1)
Por otra parte, si d = xi + hj las ecuaciones dinámicas se traducen en
r  2 d

t2
= -ѢU - Ѣp
donde Ñ¢ representa el operador gradiente en el espacio x¢,y¢. Dado que
 x

x
,  x

y
,  h

x
,  h

y
son muy pequeños frente a uno, puede escribirse
r  2 d

t2
= -ÑU - Ñp
o bien tomando rotacionales
r  2Ñ×d

t2
= Ñ×f - Ñ×Ñp
si las fuerzas derivan de un potencial y v es la velocidad
r  Ñ×v

t
= 0
lo que indica que el rotacional del campo de velocidades no se propaga y se mantiene constante. Supondremos, a partir de ahora, que es nulo, o bien, lo que es equivalente, que el campo de velocidades deriva de un potencial
v = ÑF
de modo que, aplicando 1, se tiene
DF = 0
lo que implica que el campo de velocidades está determinado si se conoce en todo momento su componente normal en el contorno del fluido. Suponiendo que la velocidad normal al contorno de volumen fluido sólo puede no ser nula en el plano superior, se tiene que ésta velocidad es la que determina el campo en todo el seno de agua.

0.1  Ondas viajeras

Se procede a escribir una solución particular
x(x,y,t)=f(y)cos(wt - k x)

h(x,y,t)=g(y) sen
(wt-kx)
que determina una velocidad
vx(x,y,t)=-wf(y) sen
(wt - k x)

h(x,y,t)=wg(y)cos(wt-kx)
aplicando la nulidad de divergencia y rotacional se tiene
g¢(y)=-kf(y)

f¢(y)=-kg(y)
Si g(-h)=0 entonces
x = a cosh(k(y+h))cos(wt-kx)

h = -a senh
(k(y+h)) sen
(wt - k x)
Si a continuación se aplican las ecuaciones dinámicas, sobre el eje y (si T es la tensión superficial del agua)
p(x,0,t)=-rg h-k2 T h+ cte
y sobre el eje x
rax = -  p

x

rax = - ra w2 cosh(k(h))cos(wt-kx) = - (rg +Tk2)ka senh
(k(h)) cos(wt - k x)
de donde se tiene
w2 = (g+Tk2/r) k tanh(kh)
lo que de termina una propagación dispersiva. Despreciando el efecto capilar, se tiene una velocidad de fase
vf=  g

w
y de grupo
vg=  g

2 w




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On 31 Jul 2001, 11:09.