Problema 3: teleobjetivo

Se desea construir un teleobjetivo combinando una lente convergente de 120mm y otra lente divergente de 30mm, separadas una distancia a = 100mm. Obtenga la matriz de transformaciˇn de rayos desde el plano de la primera lente al plano de la segunda lente y halle la distancia focal del conjunto. Sit˙e los focos y planos principales respecto a los planos de las lentes.

En el applet inferior puede variar las distancias focales de las dos lentes (barras verticales), el tama˝o del objeto (barra horizontal entre los botones), su posiciˇn (barra horizontal superior), las posiciones de las lentes  (las otras dos barras horizontales) y observar las posiciones de los planos principales objeto e imagen (azul y rojo) y los focos objeto e imagen (azul y rojo). AsÝmismo puede elegir entre el trazado de rayos de cada lente o del sistema global, con sus focos y planos principales (botones).

La matriz que representa la primera lente es

M1 = Š
š
Ŕ
1
P1
0
1
÷
¸
°

la que representa el desplazamiento d es

 

Ma = Š
š
Ŕ
1
0
a
1
÷
¸
°
la de la segunda lente es
M2 = Š
š
Ŕ
1
P1
0
1
÷
¸
°
con lo que la matriz del sistema es
M12 = M2 Ma M1 = Š
š
Ŕ
1+P2 a
P1+P2+P2P1 a
a
1+P1a
÷
¸
°
con lo que la potencia conjunta es
P3 = P1+P2+a P1P2
y la distancia focal es
f3 = - 1
P3

Si se realiza una nueva translaciˇn d, representada por la matriz

Md = Š
š
Ŕ
1
0
d
1
÷
¸
°
se tiene una matriz global
M = Md M12 = Š
š
Ŕ
1+P2 a
P1+P2+P2P1 a
a+d+P2 ad
1+P1a+ dP3
÷
¸
°
que permite situar el foco imagen a una distancia del plano de la segunda lente
d = - 1+aP1
P3
y el plano principal imagen a una distancia d-f3. Por simetrÝa, el foco objeto se sit˙a a partir de la primera lente a una distancia do
do = 1+aP2
P3
y el plano principal imagen a una distancia do+f3.

Sustituyendo los datos, se tiene

f3 = -1/P3 = 400 mm
d = 66,67mm
y el plano principal imagen se encuentra por delante de la segunda lente a una distancia 33,33mm de ella. En cuanto al foco objeto se encuentra delante de la primera lente a una distancia do = 1733mm. El plano principal imagen se encuentra tambiÚn por delante de la primera lente a una distancia 1633mm. Como se ve, este sistema permite adelantar el plano principal imagen y la distancia focal sin tener que aumentar las dimensiones de la cßmara. Es el sistema utilizado para tomar imßgenes de objetos lejanos (que necesitan una gran distancia focal) con cßmaras de tama˝o normal.