Estructura periódica

En el siguiente applet se presenta una estructura periódica de ranuras cuya anchura y periodo espacial puede variar para observar la transformada de Fourier correspondiente.

Una estructura periódica unidimensional de periodo E siempre se puede considerar como la convolución de un tren de impulsos separados por un espacio E con una forma elemental; por lo tanto, la transformada de Fourier de una función de periodo E es el producto de un tren de impulsos de periodo 2p/E con la transformada de la forma elemental. Por ejemplo, una función periódica

f(x) = t0,E(x) Äp0,a(x)
donde t0,E(x) es un tren de impulsos de periodo E que tiene un impulso en x = 0 y p0,a es un pulso de anchura a centrado en x = 0. Las transformadas de Fourier respectivas son
T(u) = t0,2p/E(u) ,    P(u) = sinc (au)
por lo que
F(u) = sinc (au) t0,2p/E(u)
es decir, una función que componen de impulsos en los múltiplos de la frecuencia elemental, como era de esperar.

Si se tiene una estructura periódica bidimeensional rectangular, entonces es evidente que puede siempre representarse mediante la convolución de un tren de impulsos bidimensional, de periodos E1,E2 con una función bidimensional elemental. POr ejemplo, si se tiene una estructura bidimensional de ménsulas, entonces

f(x,y) = t0,E1,E2((x,y) Äp0,a,b(x,y)
su transformada de Fourier es
F(u,v) = sinc (au) sinc (bu) t0,2p/E1,2p/E2((u,v)
con frecuencias múltiplos de las elementales, como se esperaba.