Descomposición en ondas planas

En el interferómetro de la figura se representa un sistema basado en un análisis de Fourier que analiza las componentes en kx,ky debidas a dos fuentes puntuales equivalentes desplazadas una distancia variable una de otra.

Cualquier función y(x,y,z) define una transformada tridimensional de Fourier

Y(u,v,w) = ó
õ


E3 
exp (-iux-ivy-iwz) y(x,y,z) dx dy dz
de forma que puede escribirse mediante
y(x,y,z) = 1
8p3
ó
õ


W3 
exp (iux+ivy+iwz) Y(u,v,w) du dv dw
si y satisface la ecuación de Helmholtz
Ñ2 y+ k2 y = 0
entonces, dada la biyectividad (matizada) de la transformación de Fourier, se debe verificar que
Ñ2 y+ k2 y = - 1
8p3
ó
õ


W3 
(u2+v2+w2 - k2) exp (iux+ivy+iwz) Y(u,v,w) du dv dw = 0
lo que implica que
Y(u,v,w) = 0    cuando     (u2+v2+w2 - k2) ¹ 0
y por lo tanto la transformada de Fourier tridimensional sólo toma valores en la superficie esférica
u2+v2+w2 = k2
lo que implica que la función y(
x,y,z) se puede descomponer en todo el espacio de forma unívoca en un conjunto de ondas planas cuyo vector de propagación tiene por módulo k.

Existen métodos ópticos (difracción Fraunhofer, plano focal de una lente convergente ancha, etc) para descomponer cada una de las componentes de la función y funciones de onda de las anteriores. Dado que se trata de una distribución bidimensional, sólo se necesita conocer la distribución de y en una superficie más el sentido de propagación para establecer la descomposición. Suele tomarse un plano z = z0 como superficie de referencia y obtener la transformada de Fourier de la función y(x,y,z0), lo que añadido al sentido de propagación (kz > 0 o kz < 0) determina la función en todo el espacio.

Dadas dos funciones f,g que satisfagan la ecuación de Helmholz y tales que f(x,y,z+d) = g(x,y,z) sus descomposiciones en ondas planas están relacionadas, obviamente por

F(kx,ky) exp (ikz d) = G(kx,ky)
donde
kz = (k2-kx2-ky2)1/2
de forma que
F(kx,ky)+G(kx,ky) = F(kx,ky)(1+cos(kz d) + i sen (kz d)) = 2F(kx,ky)cos(kz d/2) exp (ikz d /2)
que modula cada componente con un factor de fase y un factor cos(
kz d/2). Este último se anula para
kz = (k2-kx2-ky2)1/2 = ( 2 n + 1 ) p
d