Dispersión por una superficie rugosa

Cuando una onda electromagnética plana incide sobre una superficie material, se produce una redistribución de cargas y corrientes en el volumen del material que actúan como fuentes de un campo que se superpone al inicial y que se propaga por todo el espacio.

La resolución analítica y con carácter general del problema es imposible, por lo que la solución se realiza con algunas aproximaciones ampliamente aceptadas.

El enunciado del problema es el siguiente: dada una superficie S que separa dos medios materiales de características electromagnéticas conocidas, y dada una onda monocromática de constante k, incidente sobre la superficie S, encontrar el campo electromagnético resultante.

El problema está resuelto para el caso en que la superficie de separación es un plano infinito y la onda incidente es plana. En estas circunstancias, parte de la onda se transmite y parte se refleja.

La relación entre las amplitudes de las onda incidente, transmitida y reflejada viene determinada por las fórmulas de Fresnel, en función de las características electromagnéticas de los materiales, la polarización de la onda y el ángulo de incidencia.

La aproximación de Kirchhoff es un método de cálculo del campo y su gradiente en el problema general establecido anteriormente. Consiste en considerar el plano tangente en cada punto A de S y obtener, mediante las fórmulas de Fresnel, el campo electromagnético y su gradiente justo después y justo antes de dicho plano en A. Este procedimiento es exacto si S es un plano infinito y es aproximado en el resto de casos.

Una vez calculado el campo y su gradiente, la fórmula de Kirchhoff permite obtener el campo en cualquier otro punto. Si se considera el modelo escalar del campo electromagnético, se tiene para el campo total dado el campo incidente uinc(P),

uT(P) = uinc(P) + ó
õ


S 
( uT(A)ÑA G(P,A) - G(P,A) ÑA uT(A) ) ·dSA
donde
G(P,A) = exp (-i k|AB|)
4p|
AB|
el campo dispersado por la superficie es u(P) dado por
u(P) = ó
õ


S 
( u(A)ÑA G(P,A) - G(P,A) ÑA u(A) ) ·dSA
(4)

Si el campo incidente es una onda plana entonces

uinc(A) = u0 exp (-i k1·rA)
y su gradiente es
Ñuinc = -i u0 exp (-ik1 ·rA) k1
con lo que
Ñuinc ·dS = -i u0 exp (-ik1 ·rA) (k1 ·n) dS
El campo dispersado u(A) es, en la superficie S,
u(A) = R uinc(A)     "A Î S
mientras que
Ñu ·dS = - R Ñuinc ·dS
con lo que
Ñu ·dS = i u0 exp (-ik1 ·rA) (k1 ·n) dS

En muchas ocasiones interesa calcular el campo a una distancia de la superficie S muy grande en comparación con sus dimensiones y con la longitud de onda. Entonces, si rP = r k2 /k es el vector de posición de P desde un punto de la superficie S, se tiene

k|rP-rA| » k r - k2 ·rA
y
ÑA G(P,A) » - i exp (-ikr+k2·rA)
4p
r
k2
de forma que la ecuación (4) se convierte en
u(P) = -i u0 exp (-ikr)
4p
r
ó
õ


S 
R exp (-iv·rA) ) v·dSA
(5)
donde
v = k1-k2.

En la mayor parte de las superficies mecanizadas mediante los procesos de acabado más habituales las pendientes no suelen ser mayores que 0.1, por lo que puede simplificarse la expresión (5), de forma que

u(P) = i u0 exp (-ikr)
4p
r
v·nR ó
õ


S 
exp (-i(a x + b y y + c h(x,y))) dx dy
donde
xy es el plano medio de S, h(x,y) la función de cotas sobre este plano n un vector unitario normal y a,b,c son las componentes de v. La ecuación anterior puede expresarse como
u(P) = a(P) u0 ó
õ


S 
exp (-i(a x + b y))exp (-i( c h(x,y))) dx dy
(6)
donde la integral representa una transformada de Fourier bidimensional de la función exp (-
i( c h(x,y))). Si los valores de h son pequeños en comparación con la longitud de onda, se tiene
u(P) » a(P) u0 ó
õ


S 
exp (-i(a x + b y y))(1-i( c h(x,y))) dx dy
(7)
que permite reconstruir el perfil h(x,y) a partir de la función de onda u dispersada, sin más que realizar una transformación de Fourier inversa bidimensional.

Cuando la amplitud de la onda incidente depende de las coordenadas x,y, como sucede al iluminar con un haz láser en un modo gaussiano determinado, esta amplitud puede incluirse en la integral de (6), resultando

u(P) = a(P) ó
õ


S 
u(x,y) exp (-ii(a x + b y))exp (-i( c h(x,y))) dxx dy
(8)

En las superficies industriales h(x,y) suele ser una variable aleatoria definida por un proceso estocástico bidimensional que define un nuevo proceso estocástico que define u(P).

La dispersión por una superficie rugosa proporciona métodos de medida de la rugosidad utilizados hoy día como una técnica de ensayos no destructivos para monitorizar la calidad mecánica de una superficie.