Reloj de péndulo

Un péndulo compuesto suele ser utilizado en la construcción de relojes de péndulo. La oscilación libre de un péndulo se amortigua al cabo de unos pocos minutos; para compensar este amortiguamiento, que crece con la amplitud de la oscilación, se dispone de un mecanismo de pesas y escape, como el que se representa en la animación.

                            

El mecanismo de escape obtiene energía a partir del descenso de una o varias pesas y la suministra al péndulo, compensando sus pérdidas. En el escape de Graham (el representado en animación y figuras), éste se inmoviliza como consecuencia de un choque inelástico (audible en forma de tic-tac) con el propio péndulo y permanece inmóvil hasta que la oscilación del péndulo le deja el paso libre, como muestra la animación.. 

                            

 

Un péndulo compuesto evoluciona, cuando la amplitud de la oscilación es pequeña, según la ecuación diferencial
a+ k2 j = 0
(1)
donde a es la aceleración angular y k2 = mgz/Iz. En péndulos reales, existe, además un término debido a un rozamiento viscoso, que cambia la anterior ecuación a
a+2 gw+ k2 j = 0
(2)
donde w es la velocidad angular y g suele ser un término muy pequeño si se compara con k. La solución de esta última ecuación es, suponiendo j(0) = 0, aproximadamente
j(t) = A exp(-gt) sen(k t)
(3)
lo que pone de manifiesto que la oscilación se amortigua y, en la realidad, al cabo de unas decenas de oscilaciones, se hace casi imperceptible.

Si se calcula la energía perdida en un ciclo, por ejemplo el primero, se tiene
DE = 1/2 Iz Dw2 » 1/2 Iz k2 A2 (1-exp(-2gT) » pgIz k A2
(4)
es decir, es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud.

Si se desea mantener las oscilaciones, es necesario que se suministre esta energía en cada periodo del movimiento. Para ello se dispone de un peso que tiene posibilidad de, al descender, proporcionar al péndulo una energía constante en cada periodo. Esta energía es muy pequeña si se compara con la energía cinética máxima del péndulo, por lo que en cada oscilación rige fundamentalmente la ecuación del péndulo sin amortiguar. En la figura se representa un típico mecanismo de escape y péndulo en el que, mientras los dientes de la rueda azul (escape) giran impulsados por una pesa (no representada), se suministra al péndulo un momento motor de aproximadamente
M = Pr
y un trabajo por ciclo
2 Pr b
que determina una oscilación sostenida cuando
pgIz k A2 = 2 Pr b
Dado que en pequeñas oscilaciones el periodo es bastante insensible a la amplitud, este mecanismo se utiliza como reloj.

Dudas