Estática gráfica

Arbotantes de la catedral de Chartres

Las curvas funiculares poseen la interesante propiedad de reducir un sistema de fuerzas a una línea de tensiones. En sistemas de construcción tradicionales, es necesario que exista una línea de presiones contenida en el volumen de la estructura. Esto hace que el estudio de las curvas funiculares preste una valiosa ayuda en algunas estructuras arquitectónicas, como se verá en los siguientes epígrafes donde se concretarán estas ideas.

1  Polígonos funicular y de Varignon

Cuando sólo se consideran las fuerzas concentradas que actúan sobre un hilo, debido a que las densidades lineales de fuerza son despreciables, la curva funicular, según se ha deducido anteriormente, es una curva poligonal o polígono funicular. Sus vértices Ai coinciden con los puntos de aplicación de las fuerzas Fi; en sus lados adyacentes ti,ti+1 las tensiones Ti,Ti+1 son constantes. La ecuación de equilibrio, aplicada a cada punto es

DTi = Ti+1-Ti = -Fi
Gráficamente, esta ecuación implica que en cada vértice, la fuerza y los lados adyacentes son coplanarios.

Si se representa gráficamente la suma vectorial de fuerzas Fi , se tendrá otra línea quebrada, llamada polígono de Varignon. Sus vértices Bi verifican que

BiBi+1 = Fi

Razonando sobre el polígono de Varignon, puede representarse la suma vectorial

Ti+1-Ti = -Fi
de forma que el vector Ti = BiPi represente la tensión del lado i-ésimo. La ecuación de equilibrio resulta
Bi+1Pi+1 + PiBi+ BiBi+1 = PiPi+1 = 0
es decir, Pi = Pi+1 = ¼ = Pn, lo que significa que los extremos del vector tensión coinciden en un punto P, llamado polo del polígono de Varignon

La consideración anterior implica que si se trazan paralelas a los lados funiculares desde los vértices del polígono de Varignon, se obtiene una radiación de rectas concurrentes. El punto en el que se cortan es el polo del polígono de Varignon.

Obviamente existen múltiples configuraciones funiculares que equilibren un sistema dado de fuerzas, lo que se traduce en la existencia de múltiples polos y polígonos funiculares para dicho sistema.

En todo caso, el sistema de fuerzas que actúan sobre el hilo

{ {Fi}i = 1¼n, Tn+1,-T1}
debe ser nulo, lo que implica que éste reduce un sistema cualquiera de fuerzas a otro equivalente formado por únicamente dos fuerzas
T1,-Tn+1
sobre los lados 1,n+1 del polígono funicular. Por lo tanto, cuando el sistema de fuerzas tiene resultante nula, los lados extremos del funicular deben ser paralelos, mientras que el polígono de Varignon es cerrado. Si el sistema de fuerzas es nulo desde el punto de vista de los sistemas de vectores deslizantes, los dos polígonos han de ser cerrados.

2  Arcos

Un arco es una estructura de forma curva cuya misión es soportar una carga (a veces su propio peso) dejando un espacio diáfano o vano en su parte inferior. Cuando está formado por dovelas con caras planas, el análisis del equilibrio es el siguiente.

Figure 1: Polígono funicular de un arco de medio punto

Sea di la colección de dovelas, Fi el vector deslizante que representa la carga que soporta la dovela di, Ti el vector deslizante que representa la fuerza que ejerce la dovela di sobre la dovela di-1. Dado que el sistema de fuerzas entre dovelas debe ser de compresión, la recta soporte de Ti debe cortar la cara plana que separa las dovelas di,di-1. La condición de equilibrio es

Ti+1-Ti + Fi = 0
que coincide con la que define los polígonos funiculares. Si existe un coeficiente de rozamiento m entre las dovelas, la fuerza Ti no tiene que ser normal a la superficie de separación, sino que basta con que forme con la normal un ángulo menor que el atanm. En el arco, pues, debe existir un polígono funicular del sistema Fi en el que la recta soporte del lado i-ésimo corte la cara de separación entre di,di-1, bajo el ángulo que permita el rozamiento (la tangente del ángulo que forme la normal a la cara con el lado del polígono debe ser menor que el coeficiente de rozamiento). Ésta constituye la condición de equilibrio del arco.

Obviamente, cuanto mayor sea el espesor del arco, más probabilidades tiene de contener un funicular adecuado. En arcos muy estrechos, su forma debe haberse calculado con exactitud de manera que su forma sea la de un polígono funicular del sistema de fuerzas que debe soportar.

2.1  Problema 1 

Se desea construir un arco semicircular (de medio punto), de radio medio R con cuatro dovelas, como muestra la figura. El peso de cada dovela debe ser f y la componente horizontal la reacción sobre los arranques también ha de ser como mínimo f. Obtenga el espesor mínimo del arco.

En el siguiente applet puede apreciar la variación de la curva funicular de un arco de medio punto. Puede fijar la posición del vértice (ajustada con la barra vertical derecha), la componente horizontal de la tensión (barra horizontal) y el espesor del arco (barra vertical izquierda). La curva funicular corresponde a una densidad angular (con vértice en el centro del arco)  de fuerzas constante. Para que el arco no se desmorone es necesario que exista una curva funicular contenida íntegramente en su espesor, así como que el rozamiento permita el ángulo de inclinación de la curva funicular respecto a las normales a los planos de las dovelas.

En primer lugar se traza un polígono funicular del sistema de pesos de las dovelas

Figure 3:

Sea

yA = Rg
y sean r1,r2,r3 las distancias al origen (centro del arco) de las intersecciones de los lados correspondientes del polígono funicular con las superficies de separación de las dovelas. Mediante razonamientos geométricos es inmediato que
r1 = Rg
r2 = Ö2
2
gR + Ö2
2
R sen p/8
r3 = 1
2
gR + cosp/8 + sen p/8
2
R
Para comparar estos valores en función de gamma se pueden representar las rectas correspondientes.

Figure 4:

Los valores extremos cuya media es R son

ra = 0,8978 R
rb = 1,1022 R

Nótese que este problema es equivalente al del diseño de una semibóveda o incluso un arbotante circular que equilibre un empuje horizontal f

2.1  Problema 2 

Se desea construir un arco semicircular (de medio punto), de radio medio R con cinco dovelas, como muestra la figura. El peso de cada dovela debe ser f y la componente horizontal la reacción sobre los arranques también ha de ser como mínimo f/2. Obtenga el espesor mínimo del arco. Puede considerar que el centro de gravedad de cada dovela se encuentra en su circunferencia media.

Por consideraciones geométricas, se tienen las siguientes coordenadas para los puntos A,B,C,D,E, con cuatro decimales en las razones trigonométricas.

xA = r1 sen  p
1
0 = 0.3090 r1
yA = r1 cos p
1
0 = 0.9511 r1
xB = r sen  p
5
= 0.5878 r
yB = 1.2601 r1 - 0.5878 r
xC = 0.3381 r1 0.3155 r
xD = 0.9511 r
yD = 1.2601 r1 - 1.6776 r
xE = 0.252 r1 + 0.6156 r
con lo que
rA = r1
rC = 0.4179 r1 + 0.39 r
rE = 0.252 r1 + 0.6156 r
Los valores extremos cuya media es r son
rc = 8645 r < re = 0.901 r < ra = 1.1355 r

Figure 6:

 

A continuación se muestra un applet de un arco de múltiples dovelas.

 

 

3  Muros

Una aplicación directa de las propiedades de los polígonos funiculares lo constituyen los muros. Éstos deben soportar, además de su propio peso, el empuje adicional proporcionado por vigas o arcos que cargan su parte superior. Puede considerarse el muro, formado por sillares, como un caso particular de arco, en el que todas las fuerzas tienen la misma línea de acción. Considérese, en primer lugar, el punto Q intersección de la carga que soporta el sillar superior del muro con la recta soporte de los pesos de los propios sillares.

En el siguiente applet puede variar la altura del arco (deslizador derecho), la anchura de la pared (deslizador superior), la densidad de su material (deslizador izquierdo) y el peso vertical superpuesto (deslizador inferior), observando la curva funicular en el muro. Si transciende sus dimensiones, la pared se desmoronará.

Considérese el polígono de Varignon del sistema de fuerzas, con polo en P. Obviamente, las pendientes de los lados del polígono funicular serán

tanak = tana0 + k f
T0
donde T0 es la componente horizontal de Ti. Si la altura de cada sillar es h, su anchura es e y el peso por unidad de superficie vista es q, entonces f = qhe. Tomando origen de coordenadas en Q, y ejes x horizontal e y vertical ascendente, se tiene
yk = -k h
y
xk = - yk-yQ
tana0 + k q h e
T0
con una asíntota vertical en
x = T0
qe
Para que un muro alto aguante, debe verificarse que
x = T0
qe
£ e
2
Þ e £ æ
ç
è
2 T0
q
ö
÷
ø
1/2

 

4  Estática gráfica

Las propiedades de los polígonos funiculares permite resolver problemas de estática, como el siguiente:

Sea un sólido rígido apoyado sobre una articulación fija en A y una móvil en B según muestra la figura. Sobre el sólido actúan las fuerzas F2,F3,F4 cuyas líneas de acción se dan en el funicular y módulos en el polígono de Varignon. Se trata de encontrar las reacciones en A ( F1) y B ( F5) que equilibran el sistema.

Figure 6:

Considerando que los polígonos funicular y de Varignon deben ser cerrados para cualquier hilo en equilibrio bajo el sistema de fuerzas, puede comenzarse seleccionando un polo del polígono de Varignon y dibujando un funicular que pase por A. Obviamente, ni el lado t1 ni el lado t6 pueden dibujarse, pues faltan los vértices B1,B6 del polígono de Varignon. SIn embargo, la condición de cierre del polígono funicular sí permite, una vez establecidos el resto de los lados, trazar t1,t6, imponiendo la clausura del polígono. Dado que se conoce la dirección de F5, B6 se debe encontrar sobre la recta paralela desde B5; la paralela a t1,t6 desde el polo de Varignon corta a la recta anterior en B6. Finalmente, la clausura del polígono de Varignon hace que B1 = B6, con lo que F1,F5 quedan totalmente determinadas.

En sistemas planos de fuerzas, los polígonos funiculares no tienen porqué ser planos; no obstante, si el primer lado se encuentra en el plano de las fuerzas, o dos puntos lo están, entonces todo el polígono es coplanario con el sistema de fuerzas.

Sean dos polígonos funiculares planos correspondientes al mismo sistema plano de fuerzas {F}i; obviamente, para cada fuerza, se puede escribir

Fi º { Ti,-Ti+1 } º { T¢i, T¢i+1 }
lo que implica
{ Ti,-T¢i } º { Ti+1,- Ti+1 }
dado que las resultantes de ambos sistemas deben ser iguales se tiene
BiP-BiP¢ = BiP-BiP¢ = P¢P
Sea Si = ti ÙÇt¢i es decir, la intersección de los lados de los dos funiculares. El sistema de vectores deslizantes formado por el vector P¢P aplicado en Si es equivalente al formado por el mismo vector libre aplicado en Si+1 , lo que implica que Si,Si+1 se encuentran alineados sobre una recta paralela al vector P¢P. Esto implica que para sistemas planos las intersecciones de los lados homónimos de dos funiculares de un mismo sistema de fuerzas se encuentran alineadas en una recta, que recibe el nombre de recta polar.

El concepto de recta polar facilita la realización de un funicular que pase por tres puntos dados A,B,C. Sea un sistema de fuerzas {F}i; este sistema puede equilibrarse mediante dos fuerzas paralelas a la resultante que pasen por A,B, según se ha descrito en la sección anterior. El polígono funicular entonces hallado pasaba por A, pero no por B. No obstante, si se elige un nuevo polo en el polígono de Varignon, en el que el vértice Q en el que se encuentran las fuerzas equilibrantes cumpla que P¢Q sea paralelo a AB, el último lado del polígono funicular de las fuerzas dadas pasará, obviamente, por B. La recta polar del polígono buscado y la de este último será la que contiene a los puntos A,B; por lo tanto, las intersecciones de esta recta con los lados t¢i de éste pueden determinarse y en concreto la intersección con la recta polar del lado del polígono buscado que contenga a C. A partir de estos puntos, puede trazarse el polígono de forma inmediata.


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On 08 Dec 2000, 12:49.