Hilo de igual resistencia

 

En el applet superior puede contemplar la forma y sección de un hilo de igual resistencia, del que puede variar su presión (izquierda), densidad (centro) y sección mínima (derecha).En el applet superior se presenta un arco de igual resistencia, con las mismas características que el hilo.

Arco de Ctesifonte (40mx30mx60m), construido por Cosroes I en el año 540 tras saquear Antioquía. Fue la mayor bóveda de ladrillo del mundo, hasta la construcción del Arch Way. 

 

 

Ecuaciones de equilibrio

Un hilo sometido a una distribución de tensiones T(l) soporta esta fuerza entre todos los puntos del área de la sección transversal. Aunque idealmente, dada la unidimensionalidad del hilo, la sección es nula, realmente no puede serlo, aunque siempre tiene unas dimensiones mucho menores que la longitud del hilo. El reparto de la fuerza entre la tensión del hilo determina una presión s, dada por

s = T
S
donde S es el área de la sección. Los materiales reales admiten una s máxima, por encima de la cual se deterioran o rompen. Para mantener la s de trabajo por debajo de la máxima s*, se puede aumentar la sección del hilo S. Sin embargo, esto hace que el peso por unidad de longitud p aumente, según la fórmula
p = kg S
donde k es la densidad del material del hilo. Por lo tanto el aumento de la sección carga más el hilo. En esta sección se considera el diseño de un hilo (arco) de sección variable en el que todas sus secciones trabajen bajo la misma s = s*.

Partiremos de las ecuaciones 9

ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
d T d y
dl

dl
=
p
d T d x
dl

dl
=
0
(1.34)
que con las consideraciones
p = kg S = k
s*
T = T
l
además, la ecuación 3 queda
(dl)2 = (dx )2 + (dy )2 Þ dl =   _____
Ö1+y¢2
 
dx
(1.35)
donde se supone que la orientación de la curva coincide con el eje x. Sustituyendo en 9, se tiene
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
d T y¢/   _____
Ö1+y¢2
 

dl
=
T
l
d T /   _____
Ö1+y¢2
 

dl
=
0
(1.36)
la segunda ecuación queda
T /   _____
Ö1+y¢2
 
= T0 Þ T = T0   _____
Ö1+y¢2
 
(1.37)
donde T0 representa la componente horizontal de la tensión, que es constante para todo el hilo. La segunda ecuación de 11 queda
d T0 y¢
dx
= T0
l
(1+y¢2)
(1.38)
que se integra
atan y¢ = l(x-x)
donde x es una constante de integración que representa la abscisa del punto de tangente horizontal. Una nueva integral proporciona la ecuación
y = - llog(cos x
l
)+ h
conde h representa un simple desplazamiento vertical. La curva obtenida presenta dos asíntotas verticales que delimitan el vano máximo salvable por un hilo (arco) de estas características.
V = pl
La sección sigue la distribución
S(x) = S0
cos(x/l)
Los grandes arcos construidos hoy (Arch Way de San Luis, etc) se construyen de acuerdo con este modelo

 

ArchWay en San Luis (200m de flecha)

 

Gracias a William Agurto, por sus comentarios sobre la página

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