Nematostática

1.1  Introducción

Uno de los elementos más importantes en los proyectos de construcción es la estructura, la cual va a soportar el peso de las otras partes y conducirlo hasta la cimentación o los apoyos exteriores correspondientes. Muy frecuentemente, los componentes estructurales consisten en sistemas unidimensionales delgados, que trabajan sometidos a momentos flectores pequeños, ya sea por su propia naturaleza (cables, cadenas) o por un diseño orientado a la reducción de dichos momentos para no romper la estructura. En esta categoría no entran los sistemas de construcción adintelados, basados precisamente en elementos delgados (vigas) que soportan momentos flectores.

En las siguientes secciones se estudian las ecuaciones que relacionan la forma de los elementos con las distribuciones de fuerzas aplicadas y los esfuerzos interiores que soportan.

olaf.jpg
Figura 1.1: puente colgante en Olafsund

Uno de los sistemas materiales unidimensionales que no soportan momentos flectores son los hilos. Por ello éstos darán nombre al sujeto de este capítulo, cuyo título es Nematostática, del griego nema(hilo) + statica(estática).

Desde el punto de vista ideal, adoptado en este trabajo, un hilo es un sistema material unidimensional perfectamente flexible y (mientras no se explicite lo contrario) totalmente inextensible.

Dado que el hilo es un sistema unidimensional, su distribución se ciñe a una curva, que se denomina curva funicular. Si l es una abscisa curvilínea definida sobre la curva y existe una referencia en el espacio, la curva funicular viene definida por la función funicular r(l), la cual satisface, si t,n son sus vectores tangente y normal principal y r su radio de curvatura de flexión, que

ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
d r
dl
=
t
d 2r
dl2
=
n
r

En general, el hilo se considera un sistema material y su densidad lineal de masa es l(l). A no ser que se explicite lo contrario, esta función no dependerá de las fuerzas que soporte el hilo.

Además, el hilo se considera perfectamente flexible, es decir, no puede aguantar ningún momento flector. Esto equivale a decir que el esfuerzo interior consiste en una fuerza. Se define la tensión del hilo en el punto l1 como la fuerza T(l1) que ejerce la parte del hilo situada en abscisas curvilíneas mayores que l1 sobre la parte del hilo situada en abscisas curvilíneas menores que l1.

1.2  Equilibrio de un hilo bajo carga distribuida

En esta sección se deduce la ecuación de equilibrio de un hilo sometido a una densidad de fuerza por unidad de longitud f(l).

nema1.jpg

Figura 1.2: Curva funicular, tensiones y densidad lineal de carga

Dado que para que un sistema material esté en equilibrio es necesario que la resultante y momento de las fuerzas que recibe cada subsistema sean nulas, se procede a realizar el balance para un tramo cualquiera l1l2 del hilo. La resultante debe se nula, por lo tanto

ó
õ
l2

l1 
f(l) dl+ T(l2) - T(l1) = 0
o bien
ó
õ
l2

l1 
æ
ç
è
f(l) + d T
dl
ö
÷
ø
dl = 0
integral que como debe anularse para cualquier par de valores l1,l2, implica la nulidad del integrando
f(l) + d T
dl
= 0
(1.1)
en cuanto a la nulidad del momento, se tiene
ó
õ
l2

l1 
r(l) ×f(l) dl+ r(l2) ×T(l2) - r(l1) ×T(l1) = 0
o bien
ó
õ
l2

l1 
æ
ç
è
r(l) ×f(l) + d r(l) ×T
dl
ö
÷
ø
dl = 0
integral que como debe anularse para cualquier par de valores l1,l2, implica la nulidad del integrando
r(l) ×f(l) + d r(l) ×T
dl
= 0
que desarrollada queda
r(l) × æ
ç
è
f(l) + d T
dl
ö
÷
ø
+ d r
dl
×T(l) = 0
cuyo primer término es nulo, a la vista de 1; se tiene entonces
d r
dl
×T(l) = 0
es decir, la tensión es tangente a la curva funicular. Los esfuerzos interiores en un hilo son tangentes a la curva funicular. La tensión puede escribirse
T = T t
el escalar T representa el esfuerzo normal soportado por el hilo. Si T > 0, el esfuerzo es de tracción; si T < 0, el esfuerzo es de compresión. La ecuación 1 queda
f(l) +
d T d r
dl

dl
= 0
(1.2)
que es la ecuación de equilibrio de un hilo. Esta ecuación, junto con la que determina l como una abscisa curvilínea
nor
d r
dl
= 1
(1.3)
define un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas r(l),T(l).

En general, dado el sistema de fuerzas f, la solución general de 2+3 consiste en las funciones r(l,C1,C2,C3,C4,C5,C6), T(l,C1,C2,C3,C4,C5,C6), que contendrán seis constantes C1,¼,C6, cuya determinación se efectuará dadas las condiciones de contorno adecuadas.

En general las condiciones de contorno involucran valores de r(l),T(l) para algunos puntos del hilo.

Una característica importante del sistema 2+3 es que si r(l),T(l) es una solución, entonces -r(l),-T(l) también lo es.

Cabe refinar la definición de hilo dada en la sección anterior. Un hilo propiamente dicho o hilo de tracción es un hilo en el que "l    T(l) ³ 0 . Por otra parte, un hilo o arco de compresión es un hilo en el que "l    T(l) £ 0.

Cuando el sistema 2+3 tiene una solución en la que "l    T(l) ³ 0, la curva r(l) recibe el nombre de curva funicular propiamente dicha. En este caso, el sistema admite otra solución en la que "l    T(l) £ 0 y la función r(l) recibe el nombre de curva antifunicular.

Se puede proyectar la ecuación sobre los ejes del triedro intrínseco t,b,b del hilo en cada punto. En efecto

d Tt
dl
+f = 0 Þ d T
dl
t + T n
r
+f = 0
ì
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
î
d T
dl
+ ft
=
0
T
r
+ fn
=
0
fb
=
0
(1.4)
la tercera ecuación indica que la curva funicular (consecuencia de las fuerzas aplicadas) hace que su plano osculador siempre contenga la densidad de fuerzas actuantes.

1.3  Integrales primeras

El sistema de ecuaciones presentado anteriormente no es lineal y su resolución mediante funciones elementales es, en general, imposible. No obstante, en algunos casos es posible encontrar integrales primeras que suministran información adicional acerca de la solución. Se contemplan los siguientes casos

  1. la densidad de fuerzas aplicadas es nula. En este caso, la ecuación 2 se integra inmediatamente
    d T d r
    dl

    dl
    = 0 Þ T t = K Þ ì
    í
    î
    T
    =
    T0
    t
    =
    t0
    es decir, la curva funicular es un segmento en el que la tensión es constante.
  2. la densidad de fuerzas aplicadas es paralela a una dirección fija u. Entonces, multiplicando vectorialmente por u la ecuación 2, queda
    d u×T d r
    dl

    dl
    = 0 Þ T t ×u = K
    (1.5)
    de donde se extrae una doble conclusión

  3. la densidad de fuerza es paralela a un plano. En este caso, si u es el vector normal al plano, se tiene, multiplicando escalarmente 2 por u

    d u·T d r
    dl

    dl
    = 0 Þ T t ·u = K
    (1.6)

    es decir, la componente de la tensión normal al plano es constante.

  4. la densidad de fuerza es central. Si se toma origen de coordenadas en el polo de fuerzas, entonces, evidentemente
    r×f = 0
    premultiplicando vectorialmente la ecuación 2 por r se tiene,

    d r×T d r
    dl

    dl
    = 0 Þ T t ×r = K
    (1.7)

    de donde se extrae que la curva funicular es plana (plano que pasa por el origen), dado que las tangentes están todas en un plano perpendicular al vector constante K.

    Si se toman en el plano de la curva unas coordenadas polares con origen en el polo de fuerzas, entonces, proyectando sobre la perpendicular a dicho plano se tiene

    Tr2 dj
    dl
    = C
    y teniendo en cuenta que orientando la curva según j se verifica que
    dl =
    Ö
     

    (dr)2 + (rdj)2
     
    =
    Ö
     

    r¢2 + r2
     
    dj
    la integral primera queda
    Tr2

    Ö

    r¢2 + r2
    = C
    (1.8)
    donde r¢ es la derivada de r respecto a j. Esta ecuación puede completarse con la proyección de 2 sobre ur
    d T
    dj
    + fr r¢ = 0
    para generar un sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas r(j),T(j) que determinan la curva funicular y la distribución de tensiones respectivamente.

  5. la densidad de fuerza es axial. Es decir, si se toma el origen de coordenadas en el eje y un vector unitario u según el mismo, se tiene
    (r,f,u) = 0
    lo que implica que
    (r,T,u) = K
  6. la densidad de fuerza deriva de un potencial. Es decir, existe un potencial V tal que
    f = - ÑV
    en este caso, multiplicando la ecuación 2 escalarmente por dr se tiene
    d Tt
    dl
    ·dr + f ·dr = 0
    d T
    dl
    t ·dr + T /rn·dr - dV = 0
    resultando
    d(T-V) = 0 Þ T-V = cte

1.4  Hilo bajo su propio peso

En este apartado se considera el equilibrio de un hilo que sólo debe aguantar su propio peso. Dado que en este caso las fuerzas son paralelas, (ver 5), la curva funicular es plana, por lo que se tomará un plano vertical xy con eje x horizontal y eje y ascendente. Sea -pj el peso por unidad de longitud del hilo que se supone constante. Si se proyecta la ecuación 2 sobre los ejes citados, se tiene

ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
d T d y
dl

dl
=
p
d T d x
dl

dl
=
0
(1.9)
además, la ecuación 3 queda
(dl)2 = (dx )2 + (dy )2 Þ dl =   _____
Ö1+y¢2
 
dx
(1.10)
donde se supone que la orientación de la curva coincide con el eje x. Sustituyendo en 9, se tiene
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
d T y¢/   _____
Ö1+y¢2
 

dl
=
p
d T /   _____
Ö1+y¢2
 

dl
=
0
(1.11)
la segunda ecuación queda
T /   _____
Ö1+y¢2
 
= T0 Þ T = T0   _____
Ö1+y¢2
 
(1.12)
donde T0 representa la componente horizontal de la tensión, que es constante para todo el hilo. La segunda ecuación de 11 queda
d T0 y¢
dx
= p   _____
Ö1+y¢2
 
(1.13)
ecuación que puede integrarse
asenh y¢ = p
T0
(x-x)
donde x es una constante de integración que representa la abscisa en la que y¢ = 0. Finalmente, integrando otra vez se tiene
y(x) = h+ T0
p
cosh p
T0
(x-x)
(1.14)
donde h es una constante de integración que representa una translación vertical de la curva. La tensión queda, a la vista de 12
T(x) = T0 cosh p
T0
(x-x)
(1.15)

La solución obtenida depende de tres parámetros x,h,T0 (los otros tres fijan el plano vertical), cuya determinación se realiza utilizando información sobre las condiciones de contorno. Si T0 > 0 se tiene una curva funicular propiamente dicha; si T0 < 0 se tiene una curva antifunicular. La primera corresponde a una curva que recibe el nombre de catenaria, por ser la curva a la que se ajustan los eslabones de una cadena; la segunda suele denominarse anticatenaria. Ejemplos de catenarias se encuentran siempre que existan cables o cadenas sometidos a su propio peso.

catenaria.jpg

Figura 1.3: Catenaria representada en sus propios ejes (x = h = 0)

Más interesante es el caso de anticatenarias; éstas se utilizan en construcción con diferentes fines. Muchas bóvedas pueden considerarse formadas por una sucesión de arcos que van formando una superficie bidimensional cuyo objeto es cubrir un espacio. Cada uno de los arcos está sometido a su propio peso, por lo que para que trabajen a compresión pura es necesario que adopten la forma de una anticatenaria. De esa forma pueden cubrirse grandes vanos horizontales mediante elementos (típcamente piedras o cemento) que trabaja a compresión pura. El problema con estas bóvedas reside en la componente horizontal de la tensión T0, que puede desplomar las paredes laterales si éstas no son lo bastante gruesas. En algún momento del siglo XI en Francia se descubrió la forma de reducir estos esfuerzos laterales: haciendo las bóvedas más elevadas. En efecto, si se toma una anticatenaria simétrica de flecha h y vano 2 a, se tiene

h = T0
p
æ
ç
è
cosh p
T0
a -1 ö
÷
ø
que define una relación inversa entre T0 y h.

El esfuerzo lateral, a su vez, puede ser suprimido de la base de la bóveda mediante unos arcos auxiliares o arbotantes (también en forma de anticatenaria) que lleven los esfuerzos hasta el suelo.

parabol.jpg
Figura 1.4: Arco con la representación de sus esfuerzos laterales

En el siguiente applet puede apreciar la variación entre la componente horizontal de la tensión (flechas rojas) y la altura del arco (ajustada con la barra vertical). Observe que los arcos más altos determinan un empuje horizontal menor. También puede variar la anchura del arco con el deslizador horizontal, obsevando que para la misma altura, un menor vano comporta una menor fuerza horizontal.

Además, es conveniente calcular el parámetro abscisa curvilínea y relacionarlo con x. Si se toma un origen de abscisas curvilíneas en el vértice de la catenaria (x = x)y sentido positivo para x creciente, se tiene

l(x) = ó
õ
x

x 
  _____
Ö1+y¢2
 
dx = T0
p
sinh p
T0
(x-x)
En el siguiente applet puede variar la altura del arco (deslizador derecho), la anchura de la pared (deslizador superior), la densidad de su material (deslizador izquierdo) y el peso vertical superpuesto (deslizador inferior), observando la curva funicular en el muro. Si transciende sus dimensiones, la pared se desmoronará.

1.5  Catenaria dados los puntos extremos

El problema más característico en la determinación de catenarias es aquél en que se fijan las posiciones de los extremos de un hilo pesado de longitud conocida. Sea un hilo de longitud L y peso por unidad de longitud p cuyo primer extremo (l = 0) se fija en el origen de coordenadas y cuyo segundo extremo (l = L) se sitúa en el punto de coordenadas a,b. En este caso, se trata de encontrar las constantes x,h,T0 que particularizan la catenaria

y(x) = h+ T0
p
cosh p
T0
(x-x)
(1.16)
Se comienza obligando a que el hilo pase por los puntos dados
0 = h+ T0
p
cosh p
T0
x
(1.17)
b = h+ T0
p
cosh p
T0
(a-x)
(1.18)
restando se tiene
b = T0
p
æ
ç
è
cosh p
T0
(a-x) - coshpT0 x ö
÷
ø
(1.19)
por otra parte, la condición de longitud total del hilo es
L = T0
p
æ
ç
è
sinh p
T0
(a-x) +sinh p
T0
x ö
÷
ø
(1.20)
elevando 20 al cuadrado y restando el cuadrado de 19 se tiene tras obtener la raiz cuadrada del conjunto

Ö
 

L2-b2
 
= 2T0
p
sinh p
T0
a
2
(1.21)
o bien, llamando u = [(p a)/(2 T0)]

Ö

L2-b2

a
= sinhu
u
(1.22)
ecuación transcendente en u, de fácil solución numérica, pues es simétrica y monótonamente creciente para u > 0. Para una longitud del hilo menor que la distancia entre los apoyos no existe solución; para una longitud igual, la solución tiene una tensión infinita; para una longitud mayor, existen dos soluciones: funicular y antifunicular. Una vez hallado u y por tanto T0, x se puede determinar de 19 y h de 17.

1.6  Hilo que cuelga de dos rectas

En esta sección se resuelve el problema de un hilo pesado cuyos extremos se apoyan sin rozamiento sobre dos rectas contenidas en un plano xy siendo y vertical ascendente. Como datos del problema se tiene el peso por unidad de longitud p, la longitud L del hilo y las ecuaciones de las rectas d1,d2.

ì
í
î
d1 : y
=
m1 x + n1
d2 : y
=
m2 x + n2
(1.23)
y las incógnitas son los parámetros x,h,T0 que determinan la ecuación de la catenaria
y = h+ T0
p
cosh p
T0
(x-x)
(1.24)
y las coordenadas a1,b1,a2,b2 de los puntos en que el hilo se apoya sobre las rectas.

Como condiciones de contorno, en primer lugar se utiliza la incidencia de catenaria y rectas

ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
b1
=
m1 a1 + n1 = h+ T0
p
cosh p
T0
(a1-x)
b2
=
m2 a2 + n2 = h+ T0
p
cosh p
T0
(a2-x)
(1.25)
además, la incidencia entre rectas y curva es normal
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
sinh p
T0
(a1-x)
=
- 1
m1
sinh p
T0
(a2-x)
=
- 1
m2
(1.26)
por último, la longitud del hilo puede escribirse
ì
ï
í
ï
î
L
=
T0
p
æ
ç
è
sinh p
T0
(a2-x) - sinh p
T0
(a1-x) ö
÷
ø
(1.27)
combinando 27 con 26 se tiene
L = T0
p
æ
ç
è
1
m1
- 1
m2
ö
÷
ø
por lo que
T0 = p L m2-m1
m2m1
(1.28)
las ecuaciones 26 permiten despejar
a1 -x = - arcsinh 1
m1
(1.29)
a2 -x = - arcsinh 1
m2
(1.30)
y su diferencia
a2 -a1 = arcsinh 1
m1
- arcsinh 1
m2
(1.31)
además, restando las ecuaciones de 25 se tiene
m2 a2 -m1 a1 +n2 - n1 = T0
p
æ
ç
è
cosh p
T0
(a2-x) -cosh p
T0
(a1-x) ö
÷
ø
(1.32)
que puede escribirse, utilizando 28
m2 a2 -m1 a1 +n2 - n1 = L m2m1
m2-m1
æ
è

Ö
 

1+m1-2
 
-
Ö
 

1+m2-2
 
ö
ø
(1.33)
Entre la ecuación 33 y la 31 se determinan a1,a2. Con estos valores y la ecuación 29 se determina x y con las ecuaciones 25 se obtienen h,b1,b2, con lo que el problema queda resuelto.

1.7  Hilo de igual resistencia

Un hilo sometido a una distribución de tensiones T(l) soporta esta fuerza entre todos los puntos del área de la sección transversal. Aunque idealmente, dada la unidimensionalidad del hilo, la sección es nula, realmente no puede serlo, aunque siempre tiene unas dimensiones mucho menores que la longitud del hilo. El reparto de la fuerza entre la tensión del hilo determina una presión s, dada por

s = T
S
donde S es el área de la sección. Los materiales reales admiten una s máxima, por encima de la cual se deterioran o rompen. Para mantener la s de trabajo por debajo de la máxima s*, se puede aumentar la sección del hilo S. Sin embargo, esto hace que el peso por unidad de longitud p aumente, según la fórmula
p = kg S
donde k es la densidad del material del hilo. Por lo tanto el aumento de la sección carga más el hilo. En esta sección se considera el diseño de un hilo (arco) de sección variable en el que todas sus secciones trabajen bajo la misma s = s*.

Partiremos de las ecuaciones 9

ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
d T d y
dl

dl
=
p
d T d x
dl

dl
=
0
(1.34)
que con las consideraciones
p = kg S = k
s*
T = T
l
además, la ecuación 3 queda
(dl)2 = (dx )2 + (dy )2 Þ dl =   _____
Ö1+y¢2
 
dx
(1.35)
donde se supone que la orientación de la curva coincide con el eje x. Sustituyendo en 9, se tiene
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
d T y¢/   _____
Ö1+y¢2
 

dl
=
T
l
d T /   _____
Ö1+y¢2
 

dl
=
0
(1.36)
la segunda ecuación queda
T /   _____
Ö1+y¢2
 
= T0 Þ T = T0   _____
Ö1+y¢2
 
(1.37)
donde T0 representa la componente horizontal de la tensión, que es constante para todo el hilo. La segunda ecuación de 11 queda
d T0 y¢
dx
= T0
l
(1+y¢2)
(1.38)
que se integra
atan y¢ = l(x-x)
donde x es una constante de integración que representa la abscisa del punto de tangente horizontal. Una nueva integral proporciona la ecuación
y = - llogcos x
l
+ h
conde h representa un simple desplazamiento vertical. La curva obtenida presenta dos asíntotas verticales que delimitan el vano máximo salvable por un hilo (arco) de estas características.
V = pl
La sección sigue la distribución
S(x) = S0
cosx/l

En el applet superior puede variar la presión máxima (izquierda), la densidad (centro) y la sección mínima (derecha) y contemplar el hilo de igual resistencia obtenido, reparando en su vano máximo.

Los grandes arcos construidos hoy (Arch Way de San Luis, etc) se construyen de acuerdo con este modelo.

resis.jpg
Figura 1.5: Representación de la seción del hilo de igual resistencia

1.8  Hilo bajo carga repartida según la abscisa

En muchas ocasiones se parte de una densidad de carga vertical aplicada por unidad de abscisa p(x) en lugar de por unidad de longitud. En este caso, la densidad lineal es

f = - p(x) j d x
dl
= - p(x) j 1
  _____
Ö1+y¢2
con lo que las ecuaciones 9 quedan

ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
d T d y
dl

dl
=
p(x) 1
  _____
Ö1+y¢2
d T d x
dl

dl
=
0
(1.39)
además, la ecuación 3 queda
(dl)2 = (dx )2 + (dy )2 Þ dl =   _____
Ö1+y¢2
 
dx
(1.40)
donde se supone que la orientación de la curva coincide con el eje x. Sustituyendo en 39, se tiene
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
d T y¢/   _____
Ö1+y¢2
 

dl
=
p(x) 1
  _____
Ö1+y¢2
d T /   _____
Ö1+y¢2
 

dl
=
0
(1.41)
la segunda ecuación queda
T /   _____
Ö1+y¢2
 
= T0 Þ T = T0   _____
Ö1+y¢2
 
(1.42)
donde T0 representa la componente horizontal de la tensión, que es constante para todo el hilo. La segunda ecuación de 41 queda
d T0 y¢
dx
= p(x)
(1.43)
ecuación que puede integrarse
y¢ = 1
T0
ó
õ
x

x 
p(u) du
donde x es una constante de integración que representa la abscisa en la que y¢ = 0. Finalmente, integrando otra vez se tiene
y(x) = h+ 1
T0
ó
õ
x

x 
ó
õ
v

x 
p(u) du dv
(1.44)
donde h es una constante de integración que representa una translación vertical de la curva. En el caso en que la carga por unidad de abscisa es uniforme, se tiene
y = p
2T0
(x-x)2 + h
ecuación de una parábola.

Cuando se utilizan arcos abrir huecos (puertas, pórticos, ventanas, etc) en paredes altas, se suele considerar que éstos aguantan una carga uniforme por unidad de abscisa. En este caso, la relación entre el esfuerzo lateral T0(el que limita el tamaño de los vanos), la flecha h y el vano 2a es

h = p
2T0
a2
resultando evidente la relación inversa entre la altura y el empuje horizontal, base de los alardes del gótico.

1.9  Hilo elástico

En algunas ocasiones las tensiones soportadas por los hilos hacen que éstos se alarguen, alterando su densidad. Este tipo de comportamiento, mientras mantenga una relación única entre el alargamiento y la tensión, se denomina elástico. Sea l0 la abscisa curvilínea del hilo sin carga y sea l(l0) la abscisa curvilínea que corresponde al hilo tenso en función de la natural l0. El cociente

dl- dl0
l0
= u(T)
recibe el nombre de alargamiento unitario, y supondremos que depende sólo de la tensión. La función u(T) es creciente, por lo que su derivada es positiva, aunque su segunda derivada suele ser menor o igual que cero. El valor de u(0) es obviamente nulo. En el caso en que
u(T) = k T
se tiene un hilo idealmente elástico, siendo k su coeficiente de elasticidad.

La relación entre las densidades lineales del hilo tenso (l ) y sin carga (l0) se realiza considerando que la masa no cambia

ldl = l0 dl0 Þ l0
l
-1 = u(T)
con lo que
l(T) = l0
1+u(T)
(1.45)

Cuando se somete el hilo a un campo de fuerzas por unidad de masa G, entonces la fuerza por unidad de longitud es

f = lG
(1.46)
con lo que la ecuación de equilibrio de un hilo elástico es
d T d r
dl

dl
+ l0G
1+u(T)
= 0
(1.47)
Si G deriva de un potencial V
G = -ÑV
entonces, multiplicando escalarmente la ecuación 47 por dr se tiene
(1+u(T)) d Tt
dl
·dr +l0 G ·dr = 0
(1+u(T)) æ
ç
è
d T
dl
t ·dr + T /rn·dr ö
÷
ø
- l0 dV = 0
resultando
ó
õ
(1+u(T))dT- l0 V = cte
en el caso de hilo idealmente elástico u(T) = kT y se tiene
T+ k
2
T2 - l0 V = cte

1.10  Hilo sobre superficie

 

geodesico.jpg
Figure 1.6: Hilo sobre una superficie, visualizando el triedro geodésico

Cuando un hilo se apoya sobre una superficie sin rozamiento, a las fuerzas aplicadas se les añade la fuerza normal que mantiene el hilo sobre la superficie. Si ésta viene descrita por la ecuación

f(x,y,z) = 0
entonces la fuerza normal viene dada por
N = lÑf
donde l es un factor apriori desconocido.Las ecuaciones de equilibrio serán
f(l) + lÑf +
d T d r
dl

dl
= 0
(1.48)
junto con la que determina l como una abscisa curvilínea
nor
\nolimits d r
dl
= 1
(1.49)
y la de la superficie
f(x,y,z) = 0
que definen un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas r(l),T(l), l(l). Las ecuaciones 48 pueden proyectarse sobre el triedro geodésico (ver apéndice A).
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
d T
dl
+ ft
=
0
H T + Ng + fg
=
0
-GT + fh
=
0
(1.50)

La tercera ecuación determina la forma de la curva sobre la superficie; la segunda, la distribución de la reacción normal y la primera, la distribución de tensiones (en caso de desacoplarse). Si la fuerza aplicada es nula o despreciable, entonces se tienen las siguientes consecuencias

1.11  Polipastos

polipasto.jpg
Figure 1.7: Polipasto

Los polipastos son sistemas de poleas en los que un hilo se enrolla una o varias vueltas alrededor de varias poleas. Existe un extremo libre del hilo en el que se ejerce una fuerza F y un peso P que carga una polea, como muestra la figura. El objeto del polipasto es equilibrar el peso P con una fuerza mucho menor F, que permita controlar una carga considerable con una fuerza moderada. Puede no haber rozamiento entre el hilo y las poleas o puede existir, pero en este caso debe ser despreciable el rozamiento de la propia polea. Ambos casos son equivalentes y se traducen en que la tensión del hilo es constante a lo largo de toda su longitud. Si se considera una media vuelta entre los puntos A, B dado que la tensión en ambos puntos es igual en módulo y dirección, pero de sentido contrario, se ejerce una fuerza 2 T ascendente sobre la polea. Si el número de medias vueltas ( o de vueltas sobre el polipasto) es n, entonces dicha fuerza es

2 n T
conlo que, dado que F = T, se tiene
F = P
2n
lográndose la función de multiplicación de fuerzas.

1.12  Rozamiento

En esta sección se considera el equilibrio de un hilo de peso despreciable que se enrolla alrededor de una superficie cilíndrica con la que presenta un coeficiente de rozamiento m.


Figura 1.8: Hilo sobre un cilindro con rozamiento

Sea una superficie cilíndrica S y un hilo apoyado sobre la misma entre los puntos A,B. Los extremos del hilo se sujetan con fuerzas de módulos FA,FB, que son iguales a las tensiones del hilo en A,B. Se trata de hallar las relaciones entre FA,FB que aseguren el equilibrio. Para ello se orienta el hilo tomando origen de arcos en A de forma que lB > 0. Se denomina a(l) al ángulo que forma la tangente a la curva funicular con un eje x perpendicular a las generatrices en función del parámetro l.

En primer lugar se investiga la posibilidad de que el hilo se desplace hacia B. En este caso se supone que toda la fuerza de rozamiento está dirigida hacia A. Las dos primeras ecuaciones intrínsecas de equilibrio de un hilo proporcionan

ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
d T
dl
- mN
=
0
  T
r
- N
=
0
(1.51)
o bien , dado que
  1
r
= - 
d a
dl

ya que el ángulo a decrece con l y la curvatura es positiva, se tiene

ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
d T
dl
=
mN
T d a
dl
=
-N
(1.52)
dividiendo ambas ecuaciones se elimina N
dT
T
= -mda
que se integra en
TB = TA exp(-m(aB - aA)) = TA exp(mDa)  
tomando Da como el valor absoluto de aB - aA . Por consiguiente, para que el hilo no se desequilibre hacia B, es necesario que
FB £ FA exp(mDa) Þ FB
FA
£ exp(mDa)
donde Da representa el ángulo a lo largo del cual el hilo está arollado sobre la superficie (puede ser de varias vueltas). Razonando de forma simétrica para encontrar las condiciones de no ruptura del equilibrio hacia A, se llega a
FA £ FB exp(mDa) Þ FA
FB
£ exp(mDa)
con lo que la condición de equilibrio es
exp(-mDa) £ FB
FA
£ exp(mDa)
(1.53)
EL rápido crecimiento de la función exponencial asegura prácticamente el equilibrio para un valor razonable de Da. Esta propiedad es utilizada en los sistemas de amarre de barcos y otras aplicaciones.

1.13  Fuerzas concentradas

 

finitas.jpg
Figure 1.9: Balance de fuerzas en el punto de aplicación de una fuerza concentrada

Cuando sobre un punto A de un hilo actúa una fuerza aplicada F, ésta debe ser compensada por las tensiones que actúan a la izquierda y a la derecha de A. Dado que (suponiendo que la abscisa curvilínea crece hacia la derecha) la fuerza que recibe A del lado derecho del hilo es TA+ y del lado izquierdo es -TA-, el equilibrio se verifica cuando

F + T+ - T- = 0
por consiguiente, es necesaria una discontinuidad por salto brusco del vector tensión en los puntos de aplicación de fuerzas. Este salto es
DT = -F
Este tipo de carga, consistente en fuerzas aplicadas, en lugar de densidades lineales de fuerzas, se llama concentrada, mientras que en el último caso se habla de carga distribuida.

En lo que sigue se considera que el hilo trabaja sometido únicamente a un conjunto de fuerzas Fi aplicadas en puntos Ai. En este caso, dado que entre los puntos de aplicación de dos fuerzas no hay carga sobre el hilo, éste adopta la forma de un segmento, con una tensión constante entre sus extremos. La curva funicular es entonces un polígono, llamado polígono funicular cuyos vértices son los puntos Ai de aplicación de las fuerzas concentradas. Si se denominan los lados de este polígono Li de forma que Li sea el lado que va desde el vértice Ai-1 al vértice Ai, entonces las ecuacines de equilibrio son

"i     DTi + Fi = 0
(1.54)
donde
DTi = Ti+1 - Ti

1.14  Puente colgante

 

En el siguiente applet puede variar la anchura y la altura del puente colgante, observando la componente horizontal de la tensión.

Una aplicación muy importante de la ecuación 54 es la deterinación de la forma del cable de sustentación de un puente colgante. Estos puentes constan de un conjunto de cables verticales o tirantes separados una distancia a que sujetan la plataforma y cargan el cable principal, que se apoya en dos columnas laterales a las que comprimen; finalmente los cables se anclan al suelo con una cimentación adecuada. Si la carga de cada tirante es -p j, la ecuación 54 queda
Ti+1-Ti = p j
con lo que
Ti = Tk + i p j
donde Tk es una constante. Obviamente, la componente horizontal de la tensión T0 i es constante y la pendiente del lado i-ésimo es
y¢i = y¢k + i p
T0
de forma que, dado que
yi-yi-1 = a y¢i = a æ
ç
è
y¢k + i p
T0
ö
÷
ø
se tiene, sumando la sucesión
yi = a2 i2 p
2T0
+ C1 i + C2
donde C1,C2 son dos constantes que dependen de las condiciones de contorno. La ecuación representa una parábola. Si se toma un sistema de coordenadas que pase por el vértice de la parábola, se tiene
y = p
2T0
x2
parábola que incluye todos los vértices del polígono funicular. La altura del cable es
h = p L2
8 T0
Þ T0 = pL2
8 h
Las tensión máxima que soporta el cable es , si P es el peso de la plataforma
TM = P
2
  æ
 ú
Ö

1+( L2
16h2
)2
 
lo que pone de manifiesto que cuanto más alto sea el cable, menor tensión máxima tendrá. Esta tensión se transmite al anclaje final del cable en tierra. La compresión de las columnas laterales es P. En cuanto a la plataforma, si se supone que ésta se articula a los tirantes en cada punto de sujeción, su momento flector máximo es
M* = p a2
8
lo que marca un paso a máximo e implica que cuantos más tirantes haya mejor para la plataforma.

puente.jpg
Figura 1.10: Esquema del puente colgante


File translated fromTEXby TTH,version 2.56.
On 17 Nov 2000, 10:04.