Modos normales de oscilación

 

 

En este applet se muestra el concepto de modos de oscilación del mecanismo descrito en el problema que se formula más adelante. En general el sistema se mueve en torno a la posición de equilibrio mediante la superposición de dos modos, cuyas amplitudes puede variar (e incluso anular) mediante las barras verticales. Puede también variar las constantes elásticas de los resortes  mediante las barras horizontales.

Si anula uno de los modos (lleve hasta el punto más alto una barra vertical), todos los puntos del sistema evolucionan según un movimiento armónico simple de la misma pulsación en el que las amplitudes de movimiento de cada punto guardan una relación constante. Si anula el otro modo (llevando al punto más alto la otra barra vertical y bajando la primera) el sistema evoluciona según un movimiento armónico simple de pulsación diferente y en el que las relaciones entre las amplitudes de cada punto han cambiado. En este caso, un modo corresponde a movimientos iguales para ambas masas, mientras que el otro corresponde a movimientos opuestos.

Sea un sistema formado por dos puntos iguales de masa m unidos entre sí y a los extremos de un segmento AB de longitud L mediante tres resortes iguales de longitud natural L/3 y constante elástica k. Se posiciona el sistema mediante las abscisas x1,x2 de las masas respecto a la posición de equilibrio y se desea identificar las frecuencias de oscilación del sistema, así como los modos normales que corresponden a cada frecuencia.

En primer lugar, se formula la función lagrangiana


L =  1

2

m (
×
x
 
2
1 
+
×
x
 
2
2 
) -  1

2

k (2x12 + 2 x22 - 2 x1 x2)

con lo que

M = æ
ç
è
m
0
0
m
ö
÷
ø


K = æ
ç
è
2k
-k
-k
2k
ö
÷
ø

con lo que los autovalores son

w2 =  2k

m

±  k

m

y los modos de oscilación son

A1= ± A2