Paralelogramo articulado de Watt

El sistema de la animación representa un mecanismo plano formado por las barras AB,BC,CD, de longitudes 2a,a,2a respectivamente, articuladas entre sí en los puntos B,C y a dos puntos fijos A,D. 

Se considera el instante representado en la figura, en el que la barra BC es perpendicular a las barras AB y CD, tomándose un sistema cartesiano de referencia fijo con origen en A, ejes x e y según las direcciones y sentidos de los vectores AB,BC en el instante inicial y eje z en sentido saliente del plano. La barra AB se mueve con velocidad angular constante w.

  1. Obtenga, en la referencia definida, las velocidades de B y C, así como las rotaciones de las barra BC, CD.

    Evidentemente,
    vB = 2 wa j
    y por el teorema de las velocidades proyectadas
    vC = 2 wa j
    con lo que la rotación de la barra BC es nula
    wBC = 0
    Además, a partir de la velocidad de C, se tiene
    wCD = - wk

  2. Halle la aceleración de B.
    aB = -2 w2 a i

  3. Formule el teorema de las velocidades proyectadas para los puntos B y C, derívelo y obtenga una fórmula similar para las aceleraciones de B y C, de la que deducir la aceleración angular de la barra CD y la aceleración de C.

    De la ecuación
    vB ·BC = vC ·BC
    se tiene
    aB ·BC + vB·( wBC ×BC) = aC ·BC+vC·( wBC ×BC)
    con lo que
    aB ·BC = aC ·BC

    0 = -2 a2 .
    w
     

    CD 
    Þ .
    w
     

    CD 
    = 0
    y la aceleación de C es
    aC = 2 w2 a i

  4. Sea P el punto medio del segmento BC. Obtenga su velocidad, aceleración y curvatura de su trayectoria.

    Su velocidad y aceleración son las medias de las de B y C, por lo que se tiene
    vP = 2wi

    aP = 0
    su curvatura, por la segunda ecuación intríseca de la aceleración, será nula.

  5. Sean j1,j2 los ángulos girados en sentido antihorario y horario respectivamente por los segmentos AB,CD desde la posición referida anteriormente. Muestre que si j2 = f(j1), entonces
    f(0) = 0 Ùf¢(0) = 1 Ùf¢¢(0) = 0 Ùx = -f(-f(x))
    Las primeras ecuaciones se deducen de los apartados anteriores. La cuarta refleja la simetría del sistema. De hecho, la función es
    f(x) = arccos( 6-sen (x)-4cos(x)
    (21-4sen (x)-16cos(x))1/2
    )-arctan( 1-2sen (x)
    4-2cos(x)
    );

     

  6. Deduzca que f¢¢¢(0) = 0

    De
    x = -f(-f(x))
    se tiene
    1 = f¢(-f(x)) f¢(x)

    0 = -f¢¢(-f(x))f¢2(x)+f¢(-f(x))f¢¢(x)

    0 = f¢¢¢(-f(x))f¢3(x) - 3 f¢¢(-f(x))f¢(x)f¢¢(x) +f¢(-f(x)) f¢¢¢(x)
    con lo que
    f¢¢¢(0) = 0

  7. Sea rP(t) = x(t)i + y(t) j el vector de posición de P. Demuestre que x¢¢¢(0) = 0. La sobre aceleración de P es la media entre las sobre aceleraciones de B y C, por lo que
    saB = - 2a w3 j     saC = -2a w3 j
    con lo que
    x¢¢¢(0) = 0
  8. Sea rP(t) = a(l)i + b(l) j el vector de posición de P en función de la abscisa curvilínea de su trayectoria, con origen en la posición señalada y sentido positivo hacia arriba. Demuestre que las derivadas de orden par de a en l = 0 son nulas.

    Dada la antisimetría de la curva, se sigue inmediatamente.

  9. Obtenga las derivadas en el origen de hasta tercer orden de a(l) y la de cuarto orden de x(t), relacionando estas funciones, en función de l(t).
    x¢(t) = a¢(l(t)) l¢(t) Þ a¢(0) = 0

    x¢¢(t) = a¢¢(l(t)) l¢(t)+a¢(l(t)) l¢¢(t) Þ a¢¢(0) = 0
    como podía predecirse.
    x¢¢¢(t) = a¢¢¢(l(t)) l¢(t)+2a¢¢(l(t)) l¢¢(t) +a¢(l(t)) l¢¢¢(t) Þ a¢¢¢(0) = 0

    x¢¢¢¢(t) = a¢¢¢¢(l(t)) l¢(t)+3a¢¢¢(l(t)) l¢¢(t) +3a¢¢(l(t)) l¢¢¢(t) +a¢(l(t)) l¢¢¢¢(t) Þ x¢¢¢¢(0) = 0

    Es decir, existe un contacto de al menos orden cuatro entre la trayectoria de P y la recta soporte de la posición inicial del segmento BC.

    Representación gráfica de xP en función de j1

     

  10. Se completa el mecanismo con otros tres segmentos: AE de longitud a, CE y BF de longitud 2a; Los segmentos AE y BF se articulan en sus extremos, mientras que el segmento CE se une rígidamente en C al CD, prolongándolo y se articula en E, como muestra la figura, de forma que los puntos F, B, E, C forman siempre un paralelogramo. Demuestre que la velocidad de F siempre es el doble que la de P.

    Por el teorema de Tales, F siempre se encuentra en la línea que une D con P a una distancia doble que P, por lo que, tomando origen en D, el vector de posición de F es el doble que el de P.

    La trayectoria de F también tiene un contacto de orden cuarto con una recta paralela a la posición inicial del segmento BC.  Otro mecanismo que, a diferencia de éste, sí sigue un segmento rectilíneo es el de Peaucellier.

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Dudas


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On 4 Feb 2001, 18:37.